报告题目：非凯勒几何学中的一些进展

报告摘要：在这个演讲中, 我们希望就非凯勒几何中的一些近年来的研究结果向大家作一个报告, 也顺便提及该领域所面临的一些问题.

大家知道, 在复微分几何的研究中, 通常的出发点是凯勒流形. 自1940年代以来, 在这方面有许多重要的工作, 如陈省生先生在陈类, 高斯-波涅公式等方面的工作, Hodge 的一系列工作, Serre的工作, Kodaira (小平邦彦)在消灭定理和嵌入定理等方面的工作, 丘成桐先生解决Calabi 猜想等一系列工作, 等等, 都是凯勒几何学中的经典成果.

凯勒度量是指复流形上的那种黎曼度量: 其度量本身及其黎曼联络 (又称为Levi-Civita 联络) 都与复结构相容. 所有的(射影)代数流形上都具有这种度量, 因此凯勒几何学的研究往往可以直接应用到代数几何学中. 但从复几何的角度上看, 大部分的复流形上都没有凯勒度量, 因为具备凯勒度量意味着流形的拓扑必须十分特殊, 而大部分的复流形并不具备这种特殊性. 因此, 研究一般的(非凯勒的)厄米度量就十分必要.

研究厄米流形的头一个困难, 在于其上有两个标准联络: 一个是同时与度量和复结构都相容的(唯一)联络, 称为厄米联络或陈联络; 另一个是与度量相容并无绕 (即torsion为零) 的(唯一)联络, 称为黎曼联络或Levi-Civita联络. 这两个联络相等当且仅当度量为凯勒. 所以在已知度量非凯勒的情形, 流形的所有几何量(如曲率, 拉普拉斯算子, 等等)都首先依赖于联络的选取, 但无论选哪个都各有其不便之处: 黎曼联络与复结构不相容, 而厄米联络有绕. 因此相比于凯勒几何学的成功, 厄米几何学的发展尚处于较原始的阶段, 许多非常基本的问题都尚未有答案.

近年来, 随着超弦理论对非凯勒的卡拉比-丘空间的呼求, 以及完全非线性微分方程研究的进步, (非凯勒)厄米几何的研究取得了一系列进展. 例如付吉祥-丘成桐关于Strominger系统存在性的工作, Tosatti-Weinkove的工作, 刘克峰-杨晓奎的系列文章, 以及最近由 Szekelyhidi-Tosatti-Weinkove (关波-聂晓兰也作了相关的工作)所解决的 Gauduchon猜想(从某种意义上可以视为非凯勒版的卡拉比猜想), 等等, 都是非凯勒几何学的进展. 在此我们将为大家作一个粗浅的介绍, 也对本人与杨波合作的关于厄米流形的一些近期结果作出介绍. 同时, 我们也将粗略地回顾一下厄米几何的一些基本问题和未来可能的一些发展方向.

报告人：郑方阳，特聘教授（浙江大学数学中心）

时 间：5月14日（周四）下午15：15—16：15

地 点：18-918（理学院会议室）

人物名片：

郑方阳,1962年7月12日出生于四川省简阳市。1979年进入四川大学数学系,1982年考上中科院数学所的研究生。1984年至1987年就读于美国加洲大学圣迭戈分校, 取得数学硕士学位。1987年进入哈佛大学数学系,于1989年获得博士学位。论文指导教师为丘成桐教授。毕业后,1989年在麻省理工学院作 Moore Instructor (相当于博士后),1990年至1995年在杜克大学数学系任助教授,于1995年秋和1996年春分别访问于普林斯顿高等研究院(IAS)和伯克利数学研究所(MSRI)。自1996年秋起在俄亥俄洲立大学数学系工作,2001年升为教授。2005年至2008年三年期间,曾担任副系主任,主管系里的研究生工作。2009年入选国家第三批“国家级人才”,于2010年6月起在浙江大学数学中心担任特聘教授。研究领域为微分几何,特别是复微分几何和子流形几何。从1989年起,共发表论文37篇,书1本。自1991年起至2010年,除2006年外,一直有美国科学基金会(NSF)的研究基金。1995至98获 Sloan 奖金,1998－2000 获美国国家安全局(NSA)的杰出青年研究员奖。现有国家基金委面上项目一项(2013-2016)。